Turinys

• Žingsniai
• Patarimai

Matematikams ir grafikos programuotojams dažnai reikia rasti kampą tarp dviejų vektorių. Laimei, šiam kampui apskaičiuoti naudojama formulė reikalauja nieko daugiau, kaip paprasto skaliarinio sandauga. Nors šios formulės samprotavimus lengviau suprasti, kai naudojami dvimačiai vektoriai, mes galime lengvai pritaikyti jį vektoriams su bet kokiu skaičiumi komponentų.

Žingsniai

1 dalis iš 2: Apskaičiuokite kampą tarp dviejų vektorių

1. 

   Nurodykite du vektorius. Užrašykite visą žinomą informaciją apie du vektorius. Šio vadovo tikslais mes manysime, kad jūs žinote vektorius tik pagal jų matmenų koordinates (dar vadinamus komponentai). Jei jau žinote modulis arba standartinis iš šių vektorių (tai yra jų ilgio), galite praleisti keletą iš žemiau pateiktų žingsnių.
   • Pavyzdys: mes apsvarstysime dvimačius vektorius = (2,2) ir = (0,3). Šiuos du vektorius galima perrašyti kaip = 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Nors mūsų pavyzdyje naudojami du dvimatiai vektoriai, mes galime pritaikyti šias instrukcijas vektoriams su bet kokiu skaičiumi komponentų.

2. 

   
   
   Parašykite kosinuso formulę. Norėdami sužinoti kampo θ vertę tarp bet kurių dviejų vektorių, pirmiausia turime apskaičiuoti to kampo kosinusą. Galite ieškoti ir sužinoti formulės išsamiai arba tiesiog parašyti ją tokią, kokia yra žemiau:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| atstovauja modulis (arba ilgio) vektorius ".
   • • atstovauja skaliarinis produktas (arba vidinis produktas) iš dviejų vektorių.

3. 

   
   
   Apskaičiuokite kiekvieno vektoriaus modulį. Įsivaizduokite stačiakampį trikampį, kurį sudaro komponentas x vektoriaus, jo komponento y ir pats vektorius. Šiame trikampyje vektorius vaidina hipotenuzės vaidmenį; todėl norėdami rasti jos ilgį, taikysime Pitagoro teoremą. Dėl to ši formulė lengvai pritaikoma vektoriams su bet kokiu skaičiumi komponentų.
   • || u || = u₁ + u₂. Jei vektorius turi daugiau nei du komponentus, tiesiog pridėkite + u₃ + u₄ +...
   • Todėl dvimatį vektorių turėsime || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Mūsų pavyzdyje |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Apskaičiuokite skaliarinį sandaugą tarp dviejų vektorių. Jūs jau turėtumėte žinoti vektorių padauginimo metodą, dar vadinamą skaliarinis produktas. Norėdami apskaičiuoti dviejų vektorių skaliarinį sandaugą pagal jų komponentus, komponentus dauginame ta pačia kryptimi tarpusavyje ir tada pridedame tų sandaugų rezultatus.
   • Jei dirbate su kompiuterinės grafikos programomis, prieš tęsdami apsilankykite skyriuje „Patarimai“.
   • Matematiškai • = u₁v₁ + u₂v₂, kur u = (u₁, u₂). Jei jūsų vektorius turi daugiau nei du komponentus, tiesiog pridėkite + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Mūsų pavyzdyje • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Tai yra skaliarinio koeficiento tarp vektorių ir.

5. 

   Šiuos rezultatus pakeiskite kosinuso formule. Atminkite, kad cosθ = (•) / (|||| || ||). Mes jau apskaičiavome skaliarinį sandaugą ir dviejų vektorių modulį. Dabar pakeisime šias reikšmes formulėje ir apskaičiuokime kampo kosinusą.
   • Mūsų pavyzdyje cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Raskite kampą pagal savo kosinusą.
   Norėdami nustatyti kampą θ nuo jūsų kosinuso vertės, naudokite skaičiuotuvo lanko ar cos funkciją. Kai kuriais atvejais gali būti įmanoma rasti kampo vertę pagal apskritimo vienetą.
   • Mūsų pavyzdyje cosθ = √2 / 2. Norėdami rasti kampą, įveskite skaičiuoklę „arccos (√2 ​​/ 2)“. Kita galimybė yra ieškoti apskritimo kampo θ, kur cosθ = √2 / 2: tai bus teisinga θ = /₄ arba 45 °.
   • Sudėjus visą informaciją, turėsime galutinę formulę θ = arkoosinas ((•) / (|||| || ||))

2 iš 2 dalis: Nurodykite kampo apskaičiavimo formulę

1. 

   Supraskite formulės tikslą. Formulė, kurią naudojome apskaičiuodami kampą tarp dviejų vektorių, nebuvo išvesta iš anksčiau galiojusių taisyklių; jis buvo sukurtas kaip skaliarinio sandaugos tarp dviejų vektorių ir kampo tarp jų apibrėžimas. Tačiau šis sprendimas nėra savavališkas. Atidžiau pažvelgę ​​į pagrindinę geometriją, galime suprasti, kodėl ši formulė lemia tokius naudingus ir intuityvius apibrėžimus.
   • Toliau pateiktuose pavyzdžiuose naudojami dvimačiai vektoriai, nes jie yra intuityviausias tipas, su kuriuo galima dirbti. Trijų ar daugiau matmenų vektorių savybės apibrėžtos pagal bendrąją formulę (taip pat labai panašiu būdu).

2. 

   Peržiūrėkite kosinuso įstatymą. Bet kuriame trikampyje atsižvelkite į kampą θ, kurį sudaro šonai ir B ir šonas ç priešais tą kampą. Pagal kosinuso dėsnį, c = a + b -2abliemenė(θ). Šią formulę galima lengvai parodyti išmanant pagrindinę geometriją.

3. 

   Sujunkite du vektorius, kad sudarytumėte trikampį. Nubrėžkite vektorių porą ir, tarp jų kampą θ. Tada nubrėžkite tarp jų trečiąjį vektorių, kad susidarytumėte trikampį. Kitaip tariant, nubrėžkite vektorių taip, kad + =, arba tiesiog = -.

4. 

   Taikykite kosinuso dėsnį šiam trikampiui. Pakeiskite mūsų šonų ilgį vektorinis trikampis (tai yra vektoriaus modulis) kosinuso dėsnio formulėje:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||liemenė(θ)

5. 

   Parašykite formulę naudodami skaliarinius produktus. Atminkite, kad taškinis produktas yra vieno vektoriaus, iškylančio ant kito, padidinimas. Pačiam vektoriaus skaliariniam sandaugai projekcija nereikalinga, nes kryptis nekinta. Tai reiškia, kad • = || a ||. Remdamiesi šia informacija, perrašykime kosinuso dėsnio lygtį:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||liemenė(θ)

6. 

   Supaprastinkite formulę. Išskleiskite produktus kairėje lygties pusėje ir tada supaprastinkite, kol pasieksite formulę, kurią mes žinome kampų apskaičiavimui.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||liemenė(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||liemenė(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||liemenė(θ)
   • • = || a || || b ||liemenė(θ)

Patarimai

• Norėdami gauti greitą skiriamąją gebą, bet kuriai dvimatėms vektorių poroms pritaikykite šią formulę: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Jei dirbate su kompiuterinės grafikos programomis, greičiausiai turėsite žinoti tik vektorių kryptį, o ne jų ilgį. Atlikite šiuos veiksmus, kad supaprastintumėte lygtis ir pagreitintumėte savo programą:
  • Normalizuokite kiekvieną vektorių, tai yra, raskite vienetinį vektorių, kurio kryptis yra tokia pati kaip pradinio vektoriaus. Norėdami tai padaryti, kiekvieną vektoriaus komponentą padalinkite iš vektoriaus modulio.
  • Apskaičiuokite normalizuotų vektorių, o ne pradinių vektorių, skaliarinį sandaugą.
  • Kadangi normalizuotų vektorių modulis (tai yra ilgis) yra vieningas, galime juos palikti iš formulės. Galutinė kampų apskaičiavimo lygtis bus lankai (•).
• Remdamiesi kosinuso dėsnio formule, galime greitai sužinoti, ar nagrinėjamas kampas yra ūmus, ar pailgas. Pradėkite nuo cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Kairėje ir dešinėje lygties pusėse turi būti tas pats ženklas (teigiamas arba neigiamas).
  • Kadangi ilgiai visada yra teigiami, cosθ visada turės tą patį ženklą kaip skaliarinis sandauga.
  • Taigi, jei skaliarinis produktas yra teigiamas, cosθ bus teigiamas. Tai reiškia, kad kampas yra pirmame apskritimo kvadrate, ty θ <π / 2 arba 90 °. Todėl kampas yra aštrus.
  • Jei skaliarinis sandauga yra neigiama, cosθ yra neigiama. Tai reiškia, kad kampas yra antrame apskritimo kvadrate, ty π / 2 <θ ≤ π arba 90 ° <θ ≤ 180 °. Todėl kampas yra neryškus.