Turinys

• Žingsniai
• Patarimai
• Įspėjimai

Kol atėjo skaičiuoklė, tiek mokiniai, tiek mokytojai turėjo rankomis apskaičiuoti kvadratines šaknis. Siekiant geriau išspręsti šį gąsdinantį procesą, buvo sukurti keli metodai, iš kurių vieni suteikia apytikslę vertę, o kiti - tikslesnę vertę. Norėdami sužinoti, kaip paprastomis operacijomis apskaičiuoti kvadratinę šaknį rankomis, perskaitykite 1 žingsnis pradėti.

Žingsniai

1 metodas iš 2: Pirminio koeficiento naudojimas

1. 

   Padalinkite skaičių iš tobulų kvadratinių koeficientų. Šis metodas naudoja skaičiaus veiksnius, kad apskaičiuotų kvadratinę šaknį (atsižvelgiant į vertę, tai gali būti tikslus arba įvertintas atsakymas). Tu faktoriai iš skaičiaus yra bet kuris kitų rinkinys, kuris dauginasi, kad jį pasiektų. Galite pasakyti, pavyzdžiui, kokie veiksniai yra ir kodėl. Kita vertus, tobulieji kvadratai yra sveiki skaičiai, atsirandantys padauginus iš kitų sveikųjų skaičių. Vertybės ir, pavyzdžiui, yra puikūs kvadratai, nes jas galima vaizduoti atitinkamai ir. Puikūs kvadratiniai faktoriai, kaip jūs galite įsivaizduoti, taip pat yra puikūs kvadratai. Norėdami pradėti kvadratinės šaknies paiešką atlikdami pagrindinį koeficientą, sumažinkite reikšmes iki puikių kvadratinių koeficientų.
   • Viename pavyzdyje turėsite apskaičiuoti rankos kvadratinę šaknį. Norėdami pradėti, tiesiog padalykite vertę į savo puikius kvadratinius veiksnius. Kadangi jis yra daugiklis, vis dar žinoma, kad jis dalijasi iš - tobulo kvadrato. Greitas psichinis padalijimas leis jums suprasti, kad jis tinka skaičiaus laikams, kurie sutapimai taip pat yra puikus kvadratas. Todėl tobulieji kvadratiniai veiksniai bus ir kodėl.
   • Pirmasis pratimo etapas bus parašytas taip:

2. 

   
   
   Apskaičiuokite tobulų kvadratinių veiksnių kvadratines šaknis. Kvadratinės šaknies produkto savybė nurodo, kad bet kokioms reikšmėms ir duomenims. Dėl to dabar galima išgauti kvadratines veiksnių šaknis ir jas padauginti, kad būtų gautas atsakymas.
   • Aptariamame pavyzdyje kvadratinės šaknys ir bus išskleidžiamos taip:

3. 

   
   
   Sumažinkite gautą vertę iki paprasčiausių sąlygų, jei neįmanoma jos tiksliai apskaičiuoti. Praktikoje vargu ar skaičiai bus tobuli ir tikslūs su veiksniais, kurie taip pat yra puikūs kvadratai (kaip). Tokiais atvejais gali būti neįmanoma pateikti tikslaus viso atsakymo. Vietoj to, nustatydami veiksnius, kurie gali būti puikūs kvadratai, galite apskaičiuoti atsakymą pagal mažesnę, paprastesnę ir lengviau dirbamą kvadratinę šaknį. Tiesiog sumažinkite skaičių iki veiksnių, kurie yra puikūs kvadratai, derinio su kitais, kurie nėra. Tada supaprastinkite rezultatą.
   • Tarkime, kad kvadratinė šaknis yra naudojama kaip pavyzdys. Šis skaičius nėra dviejų tobulų kvadratų sandauga, todėl neįmanoma gauti sveiko skaičiaus vertės, kaip ankstesniame atveju. Tačiau tai yra produktas tarp tobulo kvadrato ir kito skaičiaus - e. Šie duomenys bus naudojami siekiant paprasčiau ieškoti atsakymo taip:

4. 

   
   
   Jei reikia, atlikite įvertinimus. Jei kvadratinė šaknis yra paprasčiausia, paprasčiau įvertinti skaitinį atsaką, nurodant likusių kvadratinių šaknų vertę ir padauginus atitinkamas reikšmes. Vienas iš būdų nukreipti save į šiuos įvertinimus yra rasti tobulus kvadratus šalia skaičiaus kvadratinėje šaknyje. Jūs žinosite, kad to skaičiaus dešimtainės dalys bus tarp šių dviejų reikšmių, todėl bus lengviau nustatyti, kas tarp jų yra.
   • Grįžtant prie pavyzdžio ir būdami e, galite pastebėti, kad jis yra tarp e - ir tikriausiai yra arčiau didesnio skaičiaus. Vertindami tai pamatysite. Tiesiog patikrinkite operaciją skaičiuoklės pagalba ir pastebėsite, kad priėjote labai artimą tikrąjį atsakymą ().
     • Tai taip pat veikia didesniu skaičiumi. Pavyzdžiui, galima įvertinti, kad jis yra tarp ir (tikriausiai arčiau didesnio skaičiaus). Jei e ir yra tarp abiejų reikšmių, tikėtina, kad jo kvadratinė šaknis taip pat yra tarp ir. Atsižvelgdami į tai, kad tai yra mažas žingsnis, galite drąsiai teigti, kad jūsų kvadratinė šaknis yra netrukus žemiau vertės. Atlikdami skaičiavimą skaičiuokle, pasiekiate rezultatą - prielaida buvo teisinga.

5. 

   Pirmiausia sumažinkite skaičių iki bendri keli minimumai. Nebūtina rasti veiksnių, kurie yra tobuli kvadratai, jei sugebate nustatyti pirminius skaičiaus veiksnius (tai yra ir pirminius skaičius). Parašykite aptariamą vertę pagal bendrą daugiklių minimumą. Tada ieškokite vienas kitą atitinkančių pirminių skaičių porų. Radę du šiuos reikalavimus atitinkančius variantus, išimkite juos iš kvadratinės šaknies ir padėkite a jų lauke.
   • Šiuo pavyzdžiu pabandykite rasti kvadratinę šaknį. Yra žinoma, kad ir tas. Dėl šios priežasties galima užrašyti kvadratinę šaknį pagal jos veiksnius: Tiesiog paimkite du esančius šaknies viduje ir padėkite vieną iš jų išorėje, kad gautumėte paprasčiausius terminus:. Iš čia lengva įvertinti.
   • Kaip paskutinį pavyzdį, pabandykite apskaičiuoti kvadratinę šaknį iš:
     • 
       Kvadratinės šaknies viduje yra kelios vertės - kadangi tai yra pirminis skaičius, tiesiog paimkite vieną iš porų ir padėkite vieną iš vienetų išorėje.
     • Todėl kvadratinė šaknis paprasčiausiais žodžiais bus arba. Čia galite įvertinti ir, jei norite, vertes.

2 metodas iš 2: kvadratinių šaknų apskaičiavimas rankiniu būdu

1. 

   Pirmiausia atskirkite tarpus tarp skaičiaus poromis. Šiuo metodu kvadratinei šakniai apskaičiuoti naudojamas procesas, panašus į ilgą dalybą tiksli, po vieną namą. Nors tai nėra labai svarbu, galite pastebėti, kad procesas yra lengvesnis, kai jis organizuojamas vizualiai, o skaičius yra padalintas į dalis. Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra nubrėžti vertikalią liniją, skiriančią darbo zoną į du regionus, tada padaryti mažesnę horizontalią liniją šalia viršutinio dešiniojo krašto, kad viršuje būtų maža dalis, o apačioje - didelė. Dabar atskirkite atstumus nuo skaičiaus poromis, pradedant kableliu: pavyzdžiui, šios taisyklės laikymasis tampa. Kairiojo tarpo viršuje užrašykite vertę.
   • Viename pavyzdyje pabandykite apskaičiuoti kvadratinę šaknį. Padarykite dvi eilutes, kad padalytumėte darbo sritį, kaip ir ankstesniu atveju, ir parašykite viršutinėje kairiosios erdvės dalyje ir nesijaudinkite, jei kairėje vietoje poros yra tik vienas skaičius. Atsakymą () turite parašyti viršutiniame dešiniajame regione.

2. 

   Sužinokite, kuris yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus kairėje esančiam skaičiui (arba skaičių porai). Pradėkite nuo kairiausios savo skaičiaus dalies, nesvarbu, ar tai pora, ar izoliuota reikšmė. Nustatykite, kuris yra didžiausias tobulas kvadratas, kuris yra mažesnis arba lygus tam skaičiui, ir paimkite jo kvadratinę šaknį: šią vertę vaizduoja. Užrašykite jį viršutiniame dešiniajame kampe, o kvadratą - apatiniame dešiniajame kvadrante.
   • Pavyzdyje kairiausia dalis yra skaičius. Kaip žinoma, galima teigti, kad tai didžiausia sveikojo skaičiaus reikšmė, kurios kvadratas yra mažesnis arba lygus. Parašykite viršutiniame kvadrante - tai bus pirmasis rezultato kvadratas. Tada užrašykite (kvadratą) apatiniame dešiniajame kvadrante - ši reikšmė bus svarbi kitame žingsnyje.

3. 

   Atimkite naujai apskaičiuotas poros skaičius kairėje. Kaip ir ilgajame dalijime, kitas žingsnis - iš ką tik ištirtos dalies atimti rastą kvadratą. Parašykite šią vertę po pirmąja dalimi ir atlikite atitinkamą atimimą, parašydami atsakymą žemiau.
   • Šiame pavyzdyje vienas bus dedamas žemiau, kad būtų galima atlikti atimimą. Atsakymas čia bus lygus.

4. 

   Nusileisk prie kitos poros. Perkelkite kitą tyrimo numerio dalį žemyn ir šalia ką tik rastos atimtos vertės. Tada padauginkite vertę viršutiniame dešiniajame kampe ir parašykite atsakymą apatiniame dešiniajame kvadrante. Dabar kitame žingsnyje tiesiog atskirkite daugybos problemos vietą:.
   • Pavyzdyje kita galima pora yra. tiesiog pažvelk į jį šalia apatinio kairio kvadranto. Tada padauginkite vertę ir gaukite ją taip. Rašykite apatiniame dešiniajame kampe, po to.

5. 

   Dešiniajame kvadrante užpildykite tuščias vietas. Kiekvienas iš jų turės tą patį sveiką skaičių. Ji turi būti didžiausia, leidžianti dešinės daugybos rezultatas būti mažesnis arba lygus dabar kairėje esančiam skaičiui.
   • Pavyzdyje užpildant tuščias vietas gautas rezultatas:. Tai didesnė nei. Tokiu būdu jis yra per didelis, bet greičiausiai tai padarys. Parašykite tuščias vietas ir tęskite: Patvirtinta, kad jis atitinka poreikį, nes tada viršutiniame dešiniajame kvadrante užrašykite skaičių.Tai yra antrasis kvadratas kvadratinėje šaknyje.

6. 

   Iš kairėje esančio skaičiaus atimkite apskaičiuotą vertę. Toliau atimkite tą patį stilių kaip ir ilgasis padalijimas. Paimkite daugybos problemos rezultatą dešiniajame kvadrante ir atimkite jį iš vertės, esančios kairėje pusėje, atsakymą pateikdami žemiau.
   • Pavyzdyje jis bus atimtas iš, gaunant.

7. 

   Pakartokite 4 veiksmą. Slinkite žemyn iki kitos skaičiaus dalies, kurios kvadratinė šaknis yra skaičiuojama. Kai pasieksite kablelį, atsakyme viršutiniame dešiniajame kvadrante parašykite dešimtainį skaičių. Tada padauginkite vertę viršutiniame dešiniajame kampe ir parašykite operaciją baltai (), kaip anksčiau.
   • Pavyzdyje, kai kablelis pasiekiamas dabar, parašykite jį iškart po dabartiniu atsakymu viršuje dešinėje. Tada judėkite žemyn kita pora () kairiajame kvadrante. Padauginę iš viršutiniame dešiniajame kampe esančios vertės (), gausite - parašykite apatiniame dešiniajame kvadrante.

8. 

   Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią dešimtainę vertę, galinčią užpildyti dešinėje esančias tuščias vietas, kurios rezultatas bus mažesnis arba lygus skaičiui, esančiam kairėje. Tada tiesiog pereikite prie problemos.
   • Pavyzdyje ,, kuris yra mažesnis arba lygus skaičiui kairėje (). Stebėdami, kad per daug, jūs prieinate prie išvados, kad tai yra jūsų ieškomas atsakymas. Parašykite jį kaip kitą skaičių po kablelio viršutiniame dešiniajame kvadrante ir atimkite kairėje esančio skaičiaus padauginimo rezultatą:

9. 

   Tęskite dešimtųjų skaičių. Nuveskite porą nulių į kairę ir pakartokite 4 žingsniai, 5 ir 6. Norėdami gauti dar didesnį tikslumą, tęskite procesą tol, kol atsakyme rasite šimtąsias, tūkstantąsias ir pan. Tiesiog tęskite šį ciklą, kol pasieksite rezultatą norima dešimtųjų tikslumu.

Proceso supratimas

1. 

   Apibrėžkite skaičių, kurio kvadratinė šaknis bus apskaičiuojama kaip kvadrato plotas. Kadangi ši sritis turi formulę, kur ji atspindi vienos iš šonų ilgį, bandydami surasti jos vertės kvadratinę šaknį, bandote apskaičiuoti atitinkamo kvadrato ilgį.

2. 

   Atsakyme nurodykite kiekvieno kablelio kintamuosius. Nustatykite, kad kintamasis būtų pirmasis skaitmuo po kablelio (skaičiuojamas kvadratinis šaknis), antrasis, trečiasis ir kt.

3. 

   Priskirkite abėcėlės kintamuosius kiekvienai pradinio skaičiaus daliai. Susiekite kintamąjį su pirmąja dešimtainių skaičių pora (pradine verte), antrąja po kableliu ir pan.

4. 

   Supraskite šio metodo ryšį su ilgu dalijimu. Šis kvadratinės šaknies apskaičiavimo būdas iš esmės yra ilgo padalijimo problema, dalijanti pradinį skaičių iš kvadratinės šaknies, duoti jo kvadratinė šaknis atsakant. Kaip ir ilgų dalijimosi problemų atveju, kai susidomėjimas nukreipiamas į vieną skaičių po kablelio, čia turėtumėte sutelkti dėmesį į du (tai atitinka kito kvadratinio šaknies dešimtainį kablelį).

5. 

   Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus. Pirmasis skaitmuo po kablelio reiškia didžiausią sveikąjį skaičių, kurio kvadratas neviršija. Pavyzdyje ir taip.
   • Viename pavyzdyje, jei norėtumėte padalyti naudodami ilgojo dalijimo metodą, pirmas žingsnis būtų panašus: turėtumėte ieškoti pirmojo skaitmens () ir rasti didžiausią sveikąjį skaičių, kurį padauginus iš gauto rezultatas būtų mažesnis nei arba lygus. Iš esmės tai yra rasti tokį kelią. Šiuo atveju jis būtų lygus.

6. 

   Vizualizuokite kvadratą, kurio plotą norite apskaičiuoti. Atsakymą, kuris yra pradinio skaičiaus kvadratinė šaknis, pavaizduos, apibūdinantis ploto kvadrato (pradinio skaičiaus) ilgį. Dydžių po kablelio vertės nurodomos. Kitas šio apibrėžimo pateikimo būdas yra teiginys, kad atsakymo su dviem skaičiais po kablelio, jei atsakymas pateikiamas po dešimtųjų, ir t. T.
   • Pavyzdyje. Atminkite, kad tai reiškia atsakymą vienetais ir dešimtimis. Paėmus ir kaip pavyzdį bus gautas skaičius. Jei jis reiškia kvadrato plotą, jis reiškia didžiausio vidinio kvadrato plotą, reiškia mažiausio vidinio kvadrato plotą ir kiekvieno likusio stačiakampio plotą. Vykdydami šį ilgą ir sudėtingą procesą turėsite visą kvadrato plotą, tik pridėdami plotus, apskaičiuotus iš kvadratų ir stačiakampių viduje.

7. 

   Atimkite iš. Meskite porą dešimtainių skaičių. Išraiška atspindi beveik visą aikštės plotą, iš kurio buvo atimtas didžiausias vidinis kvadratas. Likusius savo ruožtu galima pavaizduoti gautais 4 žingsnis (aukščiau pateiktame pavyzdyje). Čia (abiejų stačiakampių plotas ir mažiausio kvadrato plotas).

8. 

   Ieškokite, taip pat parašyta kaip. Šiame pavyzdyje jūs jau žinote () ir (), ir dabar reikia apskaičiuoti. Greičiausiai tai nebus sveiko skaičiaus reikšmė, todėl jums reikia tikrai apskaičiuokite didžiausią galimybę, kuri tenkina sąlygą. Galiausiai jums liks.

9. 

   Išspręskite operaciją. Norėdami tęsti, padauginkite iš, pakeiskite dešimčių padėtį (vertės padauginimo iš ekvivalentas), padėkite ją į vienetų padėtį ir padauginkite rezultatą iš. Kitaip tariant, tiesiog atlikite operaciją. Tai tas pats, kas rašant (esant) apatiniame dešiniajame kvadrante, esančiame 4 žingsnis. Jau 5 žingsnis, savo ruožtu, rasite didžiausią sveikojo skaičiaus vertę, kuri tilps tuščioje vietoje, atitinkančią sąlygą.

10. 

    Atimkite plotą iš bendro ploto. Dėl to iki šiol nepaisyta teritorija (ir kuri bus naudojama panašiai apskaičiuojant kitus kvadratus).

11. 

    Norėdami apskaičiuoti kitą skaičių po kablelio, paprasčiausiai pakartokite procesą. Slinkite žemyn iki kitos poros (), kad patektumėte į kairę, ir ieškokite didžiausios, atitinkančios sąlygą, vertės (tolygus dvigubai didesniam skaičiui užrašant dvi dešimtaines dešimtaines dešimtaines dalis. Raskite kuo didesnę dešimtainę vertę tuščiuose laukuose. kad rezultatas būtų mažesnis arba lygus, kaip ir anksčiau.

Patarimai

• Šis metodas veikia su bet kuria baze - ne tik su (dešimtainiu) pagrindu.
• Šiame pavyzdyje galima laikyti „poilsį“:
  
• Alternatyvus metodas, naudojant nenutrūkstamas trupmenas, naudojamas pagal šią formulę:
  
  Viename pavyzdyje norint apskaičiuoti kvadratinę šaknį yra sveikasis skaičius, kurio kvadratas labiausiai atitinka pradinį skaičių, taigi e. Įvedant reikšmes į formulę ir suapvalinant sąmatą, tai jau duoda rezultatą (minimalias reikšmes) arba apytiksliai (). Kitas terminas būtų arba apytiksliai (). Kiekvienas papildomas terminas prideda beveik tris dešimtaines tikslumo vietas, palyginti su ankstesniu bandymu.

Įspėjimai

• Nepamirškite dešimtainių skaičių atskirti poromis nuo kablelio. Atskyrimas, kaip, pavyzdžiui, duos nenaudingų rezultatų.