Turinys

• Žingsniai
• Patarimai

Tiems, kurie susiduria su matematikos sunkumais, pamatę kvadratinės šaknies simbolį gali atsirasti šaltkrėtis. Tačiau problemos, susijusios su šiuo operatoriumi, nėra tokios sunkios, kaip atrodo. Kartais paprastos kvadratinės šaknies problemos gali būti tokios pat lengvos kaip paprastas padauginimas arba padalijimas. Kita vertus, sudėtingesnės problemos gali būti daugiau darbo. Vis dėlto tinkamai pasirinkę jie visi atrodys lengvai. Pradėkite praktikuoti kvadratinės šaknies problemas dabar ir išmokkite šio naujojo matematikos įgūdžio radikalus!

Žingsniai

1 dalis iš 3: Suprasti kvadratinių ir kvadratinių šaknų sąvoką

1. 

   Prieš suprasdami kvadratines šaknis, pirmiausia supraskite, kas yra skaičiaus kvadratas. Tai nesunku suprasti. Norėdami skaičių padalinti iš kvadrato, tiesiog padauginkite iš savęs. Pavyzdžiui, 3 kvadratai yra tokie patys kaip 3 × 3 = 9, o 9 kvadratai yra tokie patys kaip 9 × 9 = 81. Kvadratai yra žymimi mažu skaičiumi „2“ viršutinėje dešinėje dešiniajame skaitmens, kuris turi būti padidintas, kaip šis: 3, 9, 100 ir pan.
   • Norėdami praktikuoti šią idėją, pabandykite pažymėti dar keletą skaičių. Atminkite, kad suskaičiavę skaičių, tiesiog padauginkite iš savęs. Tai galite padaryti net turėdami neigiamus skaičius, tačiau atminkite, kad tokiu atveju atsakymas visada bus teigiamas. Pavyzdžiui, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Norėdami rasti kvadratinę šaknį, suraskite potencialo „atvirkštę“. Šaknies simbolis (√, dar vadinamas „radikaliu“) iš esmės reiškia simbolio „priešingybę“. Pamatę radikalą, paklauskite savęs: „kokį skaičių aš galiu padauginti iš savęs, kad rezultatas būtų radikale esantis skaičius?“ Pavyzdžiui, kai matote √ (9), pabandykite surasti skaičių, kuris yra kvadratas, lygus devynioms.Šiuo atveju atsakymas bus trysnes 3 = 9.
   • Kitas pavyzdys: raskime kvadratinę šaknį iš 25 (√ (25)). Tai reiškia, kad turime rasti skaičių, kuris kvadratu yra lygus 25. Kadangi 5 = 5 × 5 = 25, galime pasakyti, kad √ (25) = 5.
   • Jūs taip pat galite galvoti apie šią operaciją kaip būdą „anuliuoti“ kvadrato aukštį. Pvz., Jei mums reikia rasti √ (64), 64 kvadratinę šaknį, turėtume galvoti apie 64 kaip 8. Kadangi kvadratinė šaknis iš esmės „panaikina“ aukščio kvadratą, galime pasakyti, kad √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Supraskite skirtumą tarp tobulų kvadratinių skaičių ir netobulų kvadratinių skaičių. Iki šiol atsakymai į mūsų kvadratinės šaknies problemas buvo pateikti daugybe skaičių. Tai ne visada įvyks. Iš tikrųjų radiacijos operacijos rezultatas kartais gali būti ilgas, sudėtingas dešimtainis ženklas. Jei skaičiaus šaknis yra sveikas skaičius, tai yra, jei ji nėra trupmena ar dešimtainė, ji vadinama tobula aikštė. Visi aukščiau pateikti pavyzdžiai (9, 25 ir 64) yra tobuli kvadratai, nes jų šaknys yra sveikieji skaičiai (atitinkamai 3, 5 ir 8).
   • Kita vertus, vadinami skaičiais, kurių šaknys nėra visos netobuli kvadratai. Skaičiuodami vieno iš šių skaičių šaknį, gausime rezultatą, kuris paprastai bus trupmena arba dešimtainė. Kartais naudojami skaitmenys po kablelio gali būti gana sudėtingi, kaip pavyzdyje: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Prisiminkite bent pirmuosius 12 tobulų kvadratų. Kaip mes parodėme, apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį gali būti labai paprasta! Taigi svarbu skirti laiko įsiminti pirmųjų dešimčių tobulų kvadratų šaknis. Jie dažniausiai rodomi bandymuose, todėl juos įsimenant galima sutaupyti daug laiko. Pirmieji 12 tobulų kvadratų yra:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Jei įmanoma, supaprastinkite šaknis, pašalindami tobulus kvadratus. Netobulų kvadratų šaknies radimas gali būti gana sudėtingas, ypač jei nėra skaičiuoklės (žemiau esančiuose skyriuose išmoksite gudrybių, kad supaprastintumėte procesą). Tačiau kartais galima supaprastinti skaičius šaknies viduje, kad būtų lengviau skaičiuoti. Tiesiog padalinkite skaičių šaknies viduje į veiksnius, tada apskaičiuokite faktorių, kurie yra tobuli kvadratai, šaknį ir parašykite atsakymą ne radikale. Tai yra lengviau, nei atrodo. Norėdami suprasti geriau, skaitykite toliau!
   • Tarkime, kad reikia rasti 900 šaknį. Iš pradžių tai atrodo gana sunki užduotis! Viskas yra daug lengviau, jei 900 padalijame į veiksnius. Skaičiaus „x“ faktoriai yra skaičių aibė, padauginus iš jų „x“. Pavyzdžiui, 6 galime gauti padauginę iš 1 × 6 ir 2 × 3, taigi 6 koeficientai yra 1, 2, 3 ir 6.
   • Užuot dirbę su 900, o tai gali būti šiek tiek keista, užrašykime jį kaip 9 × 100. Dabar, kai 9, kuris yra tobulas kvadratas, yra atskirtas nuo 100, mes galime apskaičiuoti jo kvadratinę šaknį. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Tai yra, √ (900) = 3√(100).
   • Vis dar galime supaprastinti dar du kartus, padaliję 100 į 25 ir 4 koeficientus. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Taigi galime pasakyti, kad √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Norėdami apskaičiuoti neigiamų skaičių šaknis, naudokite įsivaizduojamus skaičius. Paklauskite savęs, kuris skaičius, padaugintas iš paties, lemia -16? Tai nėra 4 ar -4, nes šių dviejų skaičių kvadratas yra 16. Ar turėtume atsisakyti? Tiesą sakant, nėra galimybės parašyti kvadratinės šaknies -16 ar bet kurio kito neigiamo skaičiaus, naudojant tik tikruosius skaičius. Tokiais atvejais turime naudoti įsivaizduojamus skaičius (dažniausiai raidžių ar simbolių pavidalu), kad pakeistume neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, kintamasis „i“ yra naudojamas žymėti kvadratinę šaknį –1. Paprastai neigiama skaičiaus šaknis visada bus (arba bent įtraukia) įsivaizduojamas skaičius.
   • Atminkite, kad net jei įsivaizduojamų skaičių negalima pavaizduoti realiaisiais skaičiais, jie vis tiek gali būti traktuojami kaip tokie. Pavyzdžiui, neigiamo skaičiaus „-x“ šaknis, jei ji yra kvadratu, taip pat lemia „-x“, kaip ir visos kitos šaknys. Tai yra, i = -1

2 iš 3 dalis: Panaudojimas į ilgus dalybos metodus

1. 

   Kvadratinės šaknies problemą traktuokite taip, lyg tai būtų ilgas padalijimas. Nepaisant to, kad jis yra daug darbo, nenaudodami skaičiuoklės, galite rasti kvadratinę šaknį iš sudėtingų netobulų kvadratinių skaičių. Metodas (arba algoritmas) yra panašus (bet ne tas pats) kaip ir ilgojo padalijimo metodas. Ilgasis padalijimas yra tradicinis metodas, naudojamas skaičiuojant padalijimą ranka.
   • Pradėkite nuo pradinio problemos padėties nustatymo, kuri bus panaši į ilgo dalybos problemą. Pvz., Tarkime, kad reikia surasti 6.45 šaknį, kuri tikrai nėra tobulas kvadratas. Pirmiausia užrašome kvadratinės šaknies simbolį (√) ir tada įdedame savo numerį į jį. Tada mes turime padaryti liniją nuo simbolio √, kol ji apims visą skaičių, paliekant jį dėžutės viduje, panašioje į tą, kurioje yra ilgojo dalijimo daliklis. Skirtumas tas, kad čia atsakymas bus virš to langelio, o ne žemiau, kaip tradiciniame skyriuje. Kai būsime baigę, turėsime pailgą „√“ ženklą, apimantį visą skaičių 6.45.
   • Parašykime skaičius ant šios dėžutės, todėl palikime vietos.

2. 

   Suskirstykite skaitmenis į poras. Norėdami pradėti spręsti problemą, suskirstykite poros skaičių stiebo viduje esančius skaičius po truputį, pradedant nuo dešimtainio taško. Tarp porų galite padaryti nedidelius ženklus (pvz., Taškus, brūkšnius, kablelius ir kt.), Kad jas atskirtumėte.
   • Mūsų pavyzdyje turėtume padalyti 6.45 į tris poras, kaip šis: 6-,45-00. Pažiūrėkite, kad kairėje pusėje yra vienas skaitmuo mažiau, su tuo nėra problemų.

3. 

   Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus pirmosios „grupės“ vertei. Pradėkite nuo pirmosios skaičių poros kairėje pusėje. Pasirinkite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus „grupei“. Pvz., Jei grupėje buvo 37, pasirinkite 6, nes 6 = 36 <37, bet 7 = 49> 37. Parašykite šį skaičių aukščiau pirmosios grupės. Tai yra pirmasis atsakymo skaitmuo.
   • Mūsų pavyzdyje pirmoji grupė iš 6–45, 45–00 yra 6. Pirmasis didžiausias skaičius, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus 6, yra 2, nes 2 = 4. Parašykite "2" per 6, esančius radikale.

4. 

   Pažvelkite į pirmąjį atsakymo skaitmenį (numerį, kurį ką tik radome) ir padauginkite jį iš dviejų. Dabar parašykite rezultatą žemiau pirmosios grupės ir atlikite atimtį, kad rastumėte skirtumą. Tada slinkite žemyn sekančia skaičių pora, pridėdami jas prie skirtumo, kurį ką tik radome. Galiausiai kairėje pusėje parašykite paskutinį skaitmenį, dvigubai didesnį už pirmąjį atsakymo skaitmenį, ir palikite tarpą šalia jo.
   • Mūsų pavyzdyje pirmasis žingsnis būtų rasti dvigubą skaičių 2, kuris yra pirmasis atsakymo skaitmuo. 2 × 2 = 4. Tada mes turime atimti 4 iš 6 (mūsų pirmoji „grupė“), gaudami 2 kaip atsakymą. Dabar mes turime pereiti į kitą grupę (45), kad gautume 245. Galiausiai dar kartą parašome 4 kairėje, palikdami nedidelę tuščią vietą dešinėje pusėje, pavyzdžiui: 4_.

5. 

   Užpildyti lapą. Dabar vietoje tuščios vietos šalia numerio, kurį rašome kairėje, turime įdėti skaitmenį. Pasirinkite skaitmenį, kuris, padaugintas iš kairėje esančio skaičiaus, o tuščią vietą pakeis pats, turi didžiausią reikšmę, bet mažesnę už skaičių dešinėje. Tai gali atrodyti šiek tiek sudėtinga, todėl pažiūrėkime keletą pavyzdžių, kuriuos reikia suprasti. Jei sumažėjęs skaičius, ty dešinėje pusėje esantis skaičius yra 1700, o skaičius dešinėje - 40_, tuščiąjį lauką užpildytume skaičiumi 4, nes 404 × 4 = 1616 <1700 ir 405 × 5 = 2025 Šiame žingsnyje rastas skaičius bus antrasis atsakymo skaitmuo, todėl galite jį pridėti virš kamieno simbolio.
   • Mūsų pavyzdyje turime rasti skaičių, kurį reikia užpildyti tuščia vieta 4_ × _ formatu, kad atsakymas būtų kuo didesnis, bet mažesnis arba lygus 245. Mūsų atveju atsakymas yra 5nes 45 × 5 = 225 ir 46 × 6 = 276.

6. 

   Norėdami toliau rašyti atsakymą, toliau naudokite skaičius, užpildančius blankus. Tęskite šį modifikuotą ilgojo padalijimo metodą, kol pradėsite gauti nulius, atimdami skaičių, kuris nusileidžia nuo radikalo, arba kol pasieksite norimą tikslumo lygį. Kai baigsite, skaičiai, naudojami užpildyti kiekviename žingsnyje esančius blankus (ir, žinoma, pirmasis skaičius, kurį naudojame), sudarys atsakymo skaitmenis.
   • Tęsdami savo pavyzdį, mes atimtume 225 iš 245, kad gautume 20. Tada mes eisime skaitmenų pora po 00, kad gautume 2000. Padvigubinę skaičių virš radikalo, turime 25 × 2 = 50. Nustatydami tuščią skaičių 50_ × _ = / <2000, gauname 3. Šiuo metu mes turime „253“ apie radikalą. Kartodami procesą dar kartą, gauname 9 kaip kitą skaitmenį.

7. 

   Įveskite teisingą atsakymą kablelis. Norėdami baigti atsakymą, mes vis tiek turime įdėti dešimtainį tašką į reikiamą vietą. Ši dalis yra lengva: tiesiog sudėkite kablelį į atsakymą toje pačioje padėtyje, kaip kablelis skaičiaus radikale. Pvz., Jei radikale esantis skaičius yra 49,8, atsakymą kableliu tiesiog įdėkite į kablelį toje pačioje vietoje, kuri yra žemiau, tai yra tarp dviejų skaičių virš 9 ir 8.
   • Mūsų pavyzdyje radikale esantis skaičius yra 6,45. Norėdami gauti atsakymą, tiesiog įdėkite kablelį tarp skaičių, viršijančių 6 ir 4, kurie šiuo atveju yra atitinkamai 2 ir 5, kad gautumėte atsakymą: 2,539.

3 iš 3 dalis: Greitas netobulų kvadratų įvertinimas

1. 

   Atsakymą raskite atlikdami sąmatą. Sužinojus kai kurių tobulų kvadratų šaknis, rasti netobulų kvadratų šaknis bus daug lengviau. Ankstesniame žingsnyje mes rekomenduojame įsiminti bent pirmuosius dvylika tobulų kvadratų ir jų šaknis. Geros žinios yra tai, kad įvertį galime naudoti norėdami gauti apytikslę netobulo kvadrato šaknį, esančią tarp dviejų mums žinomų tobulų kvadratų. Tam turime rasti pirmąjį tobulą kvadratą, didesnį nei norimas skaičius, ir paskutinį mažesnį, kad aptariamas skaičius būtų tarp dviejų. Tuomet turime pabandyti išsiaiškinti, kuriam iš šių dviejų tobulų kvadratų artimiausia yra norimo skaičiaus šaknis.
   • Pavyzdžiui, tarkime, kad mums reikia rasti kvadratinę šaknį iš 40. Kadangi įsimename tobulus kvadratus, galime pasakyti, kad 40 yra tarp 6 ir 7, tai yra tarp 36 ir 49. Kadangi 40 yra didesnis nei 6, jūsų kvadratinė šaknis bus didesnis nei 6. Taip pat, kadangi jis yra mažesnis nei 7, jo šaknis bus mažesnė nei 7. 40 yra šiek tiek arčiau 36, o ne 49, taigi mūsų atsakymas tikriausiai bus artimesnis 6. 6. Tolesniuose veiksmuose , padidinsime įvertinimo tikslumą.

2. 

   Padidinkite tikslumą iki vienos dešimtosios dalies. Suradę du iš eilės tobulus kvadratus, kurie sudaro diapazoną, kuriame yra jūsų skaičius, tiesiog pabandykite padidinti įverčio tikslumą iki taško, kuris, jūsų manymu, yra patenkinamas. Kuo daugiau bandoma pagerinti įverčių, tuo didesnis tikslumas. Norėdami pradėti, įvertinkite pirmojo skaičiaus po kablelio reikšmę. Šis įvertinimas nebūtinai turi būti teisingas, tačiau naudojant logiką pasirenkant vertę, kuri greičiausiai yra arčiausiai atsakymo, procesas bus lengvesnis.
   • Mūsų pavyzdyje gali būti priimtinas kvadratinės šaknies įvertinimas 40 6,4, nes mes jau žinome, kad atsakymas tikriausiai yra šiek tiek arčiau 6 nei 7.

3. 

   Padauginkite vertinimą patys. Jei jums nelabai pasisekė, rezultatas nebus startinis numeris (mūsų pavyzdyje - 40). Norėdami priartėti prie teisingo atsakymo, turėsite pakoreguoti sąmatą.Jei rezultatas yra didesnis nei pradinis skaičius (tai yra daugiau nei 40), pabandykite atlikti mažesnį įvertinimą. Panašiai, jei rezultatas nesiekia norimo skaičiaus, padidinkite sąmatą.
   • Padauginkite 6,4 savaime, kad gautumėte 6,4 × 6,4 = 40,96, kuris yra šiek tiek didesnis nei mūsų pradinis skaičius.
   • Kadangi mūsų įvertis buvo šiek tiek didesnis už teisingą vertę, sumažinkime jį dešimtadaliu, kad gautume 6,3 × 6,3 = 39,69. Dabar rezultatas buvo šiek tiek mažesnis už mūsų pradinį skaičių. Tai reiškia, kad 40 šaknis yra kažkoks skaičius tarp 6,3 ir 6,4. Be to, kadangi 39,69 yra artimesnis 40 nei 40,96, mes žinome, kad šaknis bus arčiau 6,3, o ne 6,4.

4. 

   Jei reikia, toliau tobulinkite sąmatą. Šiuo metu, jei jus tenkina atsakymas, naudokite vieną iš pirmųjų aproksimacijų kaip įvertinimą. Tačiau, jei jums reikia tikslesnio atsakymo, tiesiog pabandykite įvertinti antrosios dešimtosios dalies tikslumu, pasirenkant reikšmę tarp dviejų ankstesnių (tai yra tarp 6,3 ir 6,4). Taikydami šį metodą, galime įvertinti tris dešimtųjų tikslumu, keturis, penkis ir tt, priklausomai tik nuo to, koks tikslumas reikalingas atsakymui.
   • Mūsų pavyzdyje galime pasirinkti 6.33, kad apskaičiuotume dviejų skaičių po kablelio tikslumu. Padauginkite 6,33 patys, kad gautumėte 6,33 × 6,33 = 40,0689. Kadangi šis rezultatas buvo šiek tiek didesnis nei mūsų pradinis skaičius, galime pasirinkti šiek tiek mažesnę vertę, tokią kaip 6,32. Tokiu atveju 6,32 × 6,32 = 39,9424, rezultatas yra šiek tiek mažesnis už pradinį skaičių. Todėl galime daryti išvadą, kad tiksli 40 šaknis yra tarp 6.32 ir 6.33. Jei reikia, galėtume tęsti šį metodą, kad gautume vis tikslesnius norimo skaičiaus apytikslius duomenis.

Patarimai

• Jei jums reikia greito taisymo, naudokite skaičiuoklę. Šiuolaikiniai skaičiuotuvai gali akimirksniu apskaičiuoti kvadratines šaknis. Paprastai įveskite bet kurį numerį ir paspauskite mygtuką su kvadratinės šaknies simboliu. Pavyzdžiui, norėdami rasti 841 šaknį, tiesiog paspauskite 8, 4, 1 ir tada (√), kad gautumėte atsakymą: 39.