Turinys

• Žingsniai
• Patarimai

Radikali išraiška yra algebrinė išraiška, apimanti kvadratą, kubą ar kitą šaknį. Įprasta, kad šios išraiškos apibūdina tą patį skaičių, nors atrodo visai kitaip (pvz .: 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). Išeitis yra pasirinkti jiems pageidaujamą „kanoninę formą“. Jei du kanoninės formos posakiai vis tiek atrodo skirtingi, jie tikrai neatitinka to paties skaičiaus. Matematikai sutaria, kad radikalių išraiškų kanoninė forma turėtų:

• Venkite frakcijų radikaluose;
• Venkite trupmeninių rodiklių;
• Venkite radikalų vardiklyje;
• Venkite radikalų padauginimo iš radikalų;
• Turėkite terminus tik už radikalų kvadratinės šaknies ribų.

Tokiu būdu galima praktiškai pasinaudoti kelių pasirinkimų testais. Jei išsprendžiate problemą, bet nerandate atsakymo tarp alternatyvų, pabandykite ją supaprastinti kanonine forma. Kadangi testuotojai dažnai pateikia savo atsakymus tokia forma, atlikę tą patį su jumis, paaiškės, koks yra teisingas atsakymas. Esė testų metu tokios instrukcijos kaip „supaprastink savo atsakymą“ arba „supaprastink visus radikalus“ reiškia, kad studentas turi atlikti toliau nurodytus veiksmus, kol atsakymas patenkins aukščiau aprašytą kanoninę formą. Ši forma taip pat gali būti naudinga sprendžiant lygtis, nors kai kurias lengviau išspręsti naudojant ne kanoninę formą.

Žingsniai

1. 

   Jei reikia, perskaitykite taisykles dėl elgesio su radikalais ir eksponentai (tai yra tas pats dalykas: šaknys yra dalinės galios), nes dauguma jų yra būtinos šiam procesui. Taip pat peržiūrėkite polinomų ir racionalių išraiškų manipuliavimo ir supaprastinimo taisykles, nes jų taip pat reikės supaprastinti.

1 metodas iš 6: tobulos galios

1. 

   
   
   Supaprastinkite radikalus, kurie yra puikūs kvadratai. Jie yra bet kurio skaičiaus, padauginto iš jo, sandauga, pvz., 81, kuris yra 9 x 9 sandauga. Norėdami supaprastinti tobulą radikalo kvadratą, tiesiog pašalinkite simbolį iš radikalo ir užrašykite kvadratinės šaknies rezultatą. .
   • Pavyzdžiui, 121 yra tobulas kvadratas, nes 11 x 11 yra lygus 121. Taigi, jūs galite supaprastinti √ (121) iki 11, pašalindami kvadratinės šaknies simbolį.
   • Norėdami palengvinti procesą, įsiminkite pirmuosius 12 puikių kvadratų: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

2. 

   
   
   Supaprastinkite radikalus, kurie yra puikūs kubai. Jie yra bet kurio skaičiaus, padauginto iš jo du kartus, rezultatas, pvz., 27, kuris yra 3 x 3 x 3 sandauga. Norėdami supaprastinti radikalų išraišką su puikiu kubu, tiesiog pašalinkite simbolį iš radikalo ir parašykite kubo rezultatą tobulo kubo šaknis.
   • Pavyzdžiui, 343 yra puikus kubas, nes jis yra 7 x 7 x 7 sandauga. Todėl tobulo kubo 343 kubo šaknis yra 7.

2 metodas iš 6: Racionaliuosius rodiklius paverskite radikalais

Arba konvertuokite jį kitu būdu, jei norite (kartais tam yra rimtų priežasčių), tačiau nemaišykite tokių terminų kaip √ (5) + 5 toje pačioje išraiškoje. Tarkime, jūs nusprendėte naudoti radikalų žymėjimą ir naudoti kvadratinę n šaknį √ (n), o kubo šaknyje - √ (n).

1. 

   Raskite trupmeninį rodiklį ir paverskite jį radikaliu ekvivalentu, x = x šaknis b
   • Jei radikalusis indeksas yra trupmena, atsikratykite ir jo. Pavyzdžiui, šaknis (2/3) iš 4 = √ (4) = 2 = 8.

2. 

   Konvertuokite neigiamus rodiklius į jų ekvivalentiškas dalis: x = 1 /
   • Tai taikoma tik pastoviems ir racionaliems rodikliams. Jei turite tokių terminų kaip 2, palikite juos tokius, kokie jie yra, net jei problemos kontekstas rodo, kad x gali būti trupmeninis arba neigiamas.

3. 

   Sujunkite panašius terminus ir supaprastinti veikiančias racionalias išraiškas.

3 metodas iš 6: pašalinkite frakcijas iš radikalų

Kanoninė forma reikalauja trupmenos šaknį išreikšti sveikųjų skaičių šaknimis.

1. 

   Išnagrinėkite po kiekvienu radikalu pateiktus terminus, kad pamatytumėte, ar juose yra frakcijų. Teigiamu atveju:

2. 

   Pakeiskite jį padalijimu tarp dviejų radikalų, naudodami tapatybę √ (a / b) = √ (a) / √ (b).
   • Nenaudokite tokios tapatybės, jei vardiklis yra neigiamas arba kintama išraiška, kuri gali būti neigiama. Tokiu atveju pirmiausia supaprastinkite trupmeną.

3. 

   Supaprastinkite pasirodžiusius puikius kvadratus, ty paverskite √ (5/4) į √ (5) / √ (4) ir supaprastinkite, kol pasieks √ (5) / 2.

4. 

   Atlikite kitus supaprastinimus, pvz sumažinti sudėtingas frakcijas, sujungti panašius terminus ir t.

4 metodas iš 6: derinkite radikalus

1. 

   Jei turite vieną radikalų išraišką, padaugintą iš kitos, sujungti juos į vieną radikalą naudojant šią ypatybę: √ (a) * √ (b) = √ (ab). Pavyzdžiui, pakeiskite √ (2) * √ (6) į √ (12).
   • Pirmiau nurodyta tapatybė √ (a) * √ (b) = √ (ab) galioja negatyviniams radikalams. Nenaudokite, jei a ir b yra neigiami, nes tokiu būdu pateikite klaidingą teiginį: √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Kairė pusė pagal apibrėžimą yra -1 (arba neapibrėžta, jei atsisakote atpažinti sudėtingus skaičius), o dešinė pusė yra +1. Jei a arba b yra neigiami, pirmiausia „sutvarkykite“ tą ženklą, naudodami √ (-5) = i * √ (5). Jei studentas yra kintama išraiška, kurios ženklo neįmanoma išvesti iš konteksto, palikite ją tokią, kokia yra dabar. Galite naudoti bendresnę tapatybę √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) ​​* √ (| ab |), kuri galioja visų tikrųjų skaičių a ir b, tačiau apskritai neverta pridėti signalo funkcijos sudėtingumo.
   • Tokia tapatybė taikoma tik tada, kai radikalai turi tą patį indeksą. Galite padauginti bendrųjų radikalų, tokių kaip √ (5) * √ (7), pirmiausia juos išreikšdami bendru indeksu. Norėdami tai padaryti, konvertuokite šaknis į laikinai frakcionuotus rodiklius: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Tada pritaikykite produkto taisyklę, kad šis produktas taptų tas pats šeštoji 6125 m. šaknis.

5 metodas iš 6: iš radikalų išskaičiuokite kvadratinius koeficientus

1. 

   Išreikšti netobula radikali savo veiksnių išraiška. Tai yra skaičiai, kurie dauginasi, kad sukurtų kitą skaičių; pavyzdžiui, 5 ir 4 yra du skaičiaus 20 veiksniai. Norėdami padalyti netobulą radikalią išraišką, užrašykite visus to skaičiaus veiksnius (arba kiek įmanoma daugiau, jei skaičius didelis), kol rasite tobulą kvadratą .
   • Pavyzdžiui, pabandykite išvardyti visus skaičiaus 45 veiksnius: 1, 3, 5, 9, 15 ir 45. 9 yra koeficientas 45, kuris taip pat yra puikus kvadratas (9 = 3). 9 x 5 = 45.

2. 

   Iš radikalo paimkite veiksnius, kurie yra tobulos kvadratinės šaknys. 9 yra kvadratinė šaknis, nes tai yra 3 x 3 sandauga. Nuimkite jį nuo stiebo ir padėkite 3 priešais jį, palikdami 5 kamieno viduje. Jei „grąžinsite“ 3 radikalą, jis bus pats padaugintas, kad vėl sukurtų 9, o padauginus 5, vėl būtų 45. 3 šaknys iš 5 yra tik supaprastintas būdas pasakyti 45 šaknį.
   • Tai yra, √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

3. 

   Kintamajame raskite tobulą kvadratą. Kvadratinė šaknis pakeltas į antrąją valdžią būtų | a |. Galite supaprastinti „a“ tik tada, jei žinote, kad kintamasis yra teigiamas. Kubo šaknis iki trečiosios galios galima supaprastinti kaip kvadratinę šaknį kvadratinių kartų , nes dauginant kintamuosius pridedate rodiklius, taigi kvadratinių kartų tai tas pats kaip kubas.
   • Taigi, puikus kvadratas kubas yra aikštė.

4. 

   Išimkite kintamuosius, kurie yra tobulos radikalo kvadratai. Tada imk kvadratas ir pašalinkite jį iš radikalo, kad paverstumėte jį a | a | paprastas. Supaprastinta forma kubas yra teisingas | a | šaknis .

5. 

   Sujunkite panašius terminus ir supaprastinkite dėl to kylančias racionalias išraiškas.

6 metodas iš 6: racionalizuokite vardiklį

1. 

   Kanoninė forma reikalauja, kad vardiklis arba sveikasis skaičius, arba daugianaris, jei jame yra neapibrėžtųjų.
   • Jei vardiklį sudaro radikale esantis terminas, pvz., / √ (5), padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš to radikalo, kad gautumėte * √ (5) / √ (5) * √ (5) = * √ (5) / 5.
     • Jei kubo šaknys ar didesnės, padauginkite iš atitinkamos radikalo galios, kad vardiklis būtų racionalus. Jei vardiklis yra √ (5), padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš √ (5).
   • Jei vardiklis yra kvadratinių šaknų, tokių kaip √ (2) + √ (6), suma arba skirtumas, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš tos pačios išraiškos, susietos su priešingu operatoriumi. Taigi, / (√ (2) + √ (6)) = (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)). Tada naudokite kvadratų tapatumo skirtumą, kad racionalizuotumėte vardiklį, supaprastindami (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) ^ 2 - √ (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
     • Šis žingsnis taip pat tinka vardikliams, tokiems kaip 5 + √ (3), nes kiekvienas sveikasis skaičius yra kito sveiko skaičiaus kvadratinė šaknis.
     • Šis metodas naudojamas kvadratinių šaknų, tokių kaip √ (5) -√ (6) + √ (7), sumai. Jei sugrupuosite jį kaip (√ (5) -√ (6)) + √ (7) ir padauginsite iš (√ (5) -√ (6)) - √ (7), jūsų atsakymas nebus racionalus, bet bus turėkite šiuos dalykus: a + b * √ (30), kur a ir b yra racionalūs. Tada galite pakartoti procesą su a + b * √ (30) konjugatu ir (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) yra racionalus. Šį triuką galite naudoti vieną kartą, kad sumažintumėte radikalų skaičių vardiklyje, ir kelis kartus, kad juos visus pašalintumėte.
     • Jis netgi veikia su vardikliais, turinčiais didesnes šaknis, pvz., Keturkampę šaknį iš 3 plius septintąją šaknį iš 9. Tiesiog padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjugato. Deja, vardiklio konjugato paieškos procesas nėra toks aiškus. Norėdami tai suprasti, ieškokite geros knygos apie algebrinę skaičių teoriją.

2. 

   Dabar vardiklis buvo supaprastintas, tačiau skaitiklis yra netvarka. Turėsite pradinį skaičių ir tris kartus didesnį vardiklio konjugatą. Išplėskite gaminį taip, kaip padarytumėte daugianarį. Pažiūrėkite, ar galima ką nors atšaukti ar supaprastinti, ir, jei įmanoma, derinkite panašius terminus.

3. 

   Jei vardiklis yra neigiamas sveikasis skaičius, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš -1, kad jis būtų teigiamas.

Patarimai

• Galite ieškoti svetainių, kurios jums supaprastina radikalią išraišką. Tiesiog įveskite lygtį radikale ir paspauskite Enter, kad pasirodytų supaprastintas atsakymas.
• Daugelis aukščiau nurodytų veiksmų nebus naudojami paprastoms problemoms spręsti. Jei reikia sudėtingesnių, kai kuriuos veiksmus gali reikėti atlikti daugiau nei vieną kartą. Spręsdami problemą, nuolat supaprastinkite ir patikrinkite galutinį atsakymą, ar jis atitinka įžangoje aprašytus kanoninius kriterijus. Jei atsakymas yra kanoniškas, baigsite. Kol tai nėra kanoninis, vienas iš šių žingsnių parodys, ką dar reikia padaryti, kad pasiektumėte šią formą.
• Dauguma radikalios išraiškos „pageidaujamos kanoninės formos“ nuorodų taip pat taikomos kompleksiniams skaičiams (i = √ (-1)). Net jei jie parašyti ne radikalu, o i, venkite i vardiklyje.
• Dalis aukščiau pateiktų instrukcijų daro prielaidą, kad visi radikalai yra kvadratinės šaknys. Bendrieji kubo šaknų principai yra vienodi arba didesni, nors kai kuriuos iš jų, ypač racionalizuojant vardiklį, taikyti yra sunkiau. Taip pat turėsite nuspręsti, ar norite tokių terminų kaip √ (4) ar √ (2) (atsižvelgiant į tai, kaip jūsų vadovėliai pageidauja).
• Dalis instrukcijų vartoja terminą „kanoninė forma“ neteisingai, nors iš tikrųjų ji apibūdina tik įprastą formą. Skirtumas yra tas, kad kanoninei formai reikalauti 1 + √ (2) arba √ (2) +1 ir sakoma, kad kita forma yra netinkama, o įprasta forma daro prielaidą, kad jūs, skaitytojas, esate pakankamai protingas, kad suprastumėte, jog du skaičiai yra „akivaizdžiai vienodi“, net jei jie nėra parašyti vienodai. Šiuo atveju „akivaizdu“ reiškia naudoti tik aritmetines savybes, tokias kaip pridėjimas, kuris yra komutacinis, o ne algebrines (√ (2) yra negatyvi x šaknis). Tikimės, kad skaitytojai atleis šį mažą piktnaudžiavimą terminologija.
• Jei instrukcijos atrodo dviprasmiškos arba prieštaringos, atlikite visus nuoseklius ir nedviprasmiškus veiksmus ir pasirinkite formą, kuri labiausiai primena radikalias jūsų knygos išraiškas.